2．1．3 主成分的求解方法
    通过上面的分析我们可以知道，对于主成分分析的问题最后转化为求解协方差矩阵的特征值和特征向量的问题，主成分的正交化分解的算法或求XXT特征值问题的算法常用的有雅可比方法和NIPALS方法。
2．2 Eigenface算法
    在利用PCA进行特征提取的算法中，特征脸方法(Eigenface)是其中的一个经典算法。特征脸方法是从主成分分析导出的一种人脸识别和描述技术。特征脸方法就是将包含人脸的图像区域看作是一种随机向量，因此可以采用K-L变换获得其正交K-L基底。对应其中较大特征值的基底具有与人脸相似的形状，因此又称为特征脸。利用这些基底的线性组合可以描述、表达和逼近人脸图像，因此可以进行人脸识别与合成。识别过程就是将人脸图像映射到由特征脸构成的子空间上，比较其与己知人脸在特征空间中的位置，具体步骤如下：
    (1)初始化，获得人脸图像的训练集并计算特征脸，定义为人脸空间，存储在模板库中，以便系统进行识别；
    (2)输入新的人脸图像，将其映射到特征脸空间，得到一组关于该人脸的特征数据；
    (3)通过检查图像与人脸空间的距离判断它是否是人脸；
    (4)若为人脸，根据权值模式判断它是否为数据库中的某个人，并做出具体的操作。
2．2．1 计算特征脸
    设人脸图像I(x，y)为二维N*N灰度图像，用N维向量R表示。人脸图像训练集为{Ri|i=1，…，M}，其中M为训练集中图像总数，这M幅图像的平均向量为：

每个人脸Ri与平均人脸ψ的差值向量是：

训练图像的协方差矩阵可表示为：

 C=AAT.

    其中，A=[φ1，…φM].
    特征脸有协方差矩阵C的正交特征向量组成。对于N*N人脸图像，协方差矩阵C的大小为N2*N2，对它求解特征值和特征向量是很困难的。一种取而代之的方法是令L=ATA．
    即协方差矩阵的转置阵，则可以知道此矩阵是M*M(M是训练人脸的数量)的一个较小的矩阵。首先计算M*M矩阵L的特征向量vi(l=l，…，M)，则矩阵C的特征向量ui(l=1，…，M)由差值图像φi(i=1，…，M)与vi(l=l，…，M)线性组合得到：U=[u1，…，uM]=[[ψ1，…，ψM]T][v1．…，vM]。实际上，m(m<M)个特征值足够用于人脸识别。因此，仅取L的前m个最大特征值的特征向量计算特征脸。

3 PCA算法在人脸识别中的应用
    基于特征脸的人脸识别过程由训练阶段和识别阶段两个阶段组成。在训练阶段，每个已知人脸Ri映射到由特征脸构成的子空间上，得到m维向量

  在识别阶段，首先把待识别的图像R映射到特征脸空间。得到向量：