由上述各式，根据传统的GPC算法，令J对△U1的偏导数为0，可以得到一个控制量序列[6，9]，为简化计算，Diophantine方程一般用递推算法求解，但仍然不能避免矩阵求逆，计算量大，且不能保证矩阵可逆，计算中还会出现数值病态问题，在实际应用中存在着较大的安全隐患。
    为避免传统GPC中的矩阵求逆问题，在算法中引入阶梯式策略[6]。令

    由Diophantine方程可知F(1)=Q，因此式(13)亦可表示为式(5)的形式，此时

   

1.3 整定结果

    由式（4）与式（14）的对应关系，我们可以比较得到PID控制器各参数（其中Ts为采样周期）如下：

   

2 整定算法的分析

2.1  参数调节的问题

本文通过引入阶梯因子，避免了参数整定过程中矩阵求逆，大大简化了计算。同时，在实际系统中，由于执行机构性能的限制，若控制量变化频率高，不仅执行机构动作跟不上，起不到作用，而且会增加执行机构的磨损。而阶梯式策略假定控制增量服从一个等比序列，这相当于给控制增量加了一个较强的限制。另外，由于引进阶梯因子后，加权因子λ性能的影响减小，而且其对于控制量的抵制作用也变得比较复杂，因此我们主要可以通过β来调节对应PID控制器的鲁棒性与快速性。

2.2 整定误差的Smith补偿

    在前述的算法推导中，可以发现，为了建立I-PD与SGPC之间的相互联系，对多项式X（z-1）进行了静态处理，由式（12）与 式（13）可以看出，这样的处理，相当于认为过去k+nb-1步的输入变化量都相等，且等于当前时刻的输入变化量，即△ut-knb+1=△ut-k-nb+2=…=△ut，而实际运行中，在系统动态响应阶段，这种关系显然总是不成立的。这种近似处理，在系统无延时或小延时，即k取值很小时，影响可以忽略，但随着时延步数的加大，这种处理对系统鲁棒性地影响必将逐渐加剧，所以需要对具有大延时的系统进行补偿。因此，本文在系统中引入Smith预估器，以消除系统的时延影响，改善大延时系统的控制效果。

    由于常规Smith预估器在模型失配时存在低鲁棒性问题，因此在应用中可采用文献[8]中的自适应方案，即首先通过单变量寻优方法估计实际过程的纯滞后，然后再用带遗忘因子的最小二乘法辨识过程模型的其他参数，以在线修正模型。这样系统的控制结构可以设计成图1所示的形式。从图中可以看出，若系统无延时，系统等同于简单的预测PID控制回路，而当系统有时延时，延时对系统的影响即可由smith预估器消除，而预测PID参数则仅需根据无时延模型Gm(s)来整定，这样就可以避免时延带来的参数整定误差。

3 仿真及分析
    为仿真需要，考虑以下单变量模型：

   
P=10，m=5，λ=1，B与k的值按仿真需要选取。

    图2所示为K=7，β分别取0．75、0．95、1．05与1．15时，PID控制系统(无Smith补偿)的响应输出曲线，从图中可见，基于SGPC整定的PID控制器的动态性能可以很容易地通过选择不同的B值来调节，以获取合适的控制器参数，随着B取值的增加，系统的超调越小，响应速度则越慢，充分保持了SGPC控制的这一特点。