在倒立摆系统中，Q，R分别用来对状态向量x和输入控制量u进行平衡加权。一般情况下，P增加时，控制力减小，角度变化变小，跟随速度变慢。而Q中某元素增加时，其对应的状态变量的响应速度也增加，其他状态变量的响应速度相对减慢。为了使得反馈矩阵K更合理，对矩阵Q，R的选取一定要尽量恰当。通过反复测试，实际系统的控制过程选取Q=diag[500 700 700 0 0 0]，R=1。
    根据二级倒立摆的参数，基于MATLAB强大的矩阵运算及其丰富的内部函数，利用K=lqr(A，B，Q，R)命令计算，可得到状态反馈矩阵K：
   

   
    从而得到综合误差E和综合误差变化率EC。
3．2 降维后设计二维Mamdani型模糊控制器
    输入变量E、EC，输出变量u；E、EC论域设定：E=[-6，6]，EC=[-6，6]，输出论域U=[-1，1]均采用三角型、全交迭、均匀分布隶属度函数。每个变量用5个模糊子集{NB NS ZE PS PB}来描述，隶属度函数曲线图如图2、图3所示。EC的隶属度函数曲线同E的隶属度函数曲线。

    模糊推理采用Mamdani最小运算规则。根据输入、输出论域上的模糊语言变量划分NB(负大)，NS(负小)，ZE(零)，PS(正小)，PB(正大)，设计模糊推理规则如图4所示。

    模糊控制器采用重心法实现非模糊化，与一般采用的最大隶属度法相比较，重心法具有更加平滑的输出推理控制。通过以上分析和试验，并恰当地选择模糊逻辑系统的参数，从而设计一个适合被控对象的模糊控制器，如图5所示。图5中，Ke、Kec为量化因子，Ku为比例因子，State-Space为系统的状态空间方程，Saturation为限幅模块，Scope为示波器模块。根据以上工作，在Simulink环境中对二级倒立摆系统进行仿真，其仿真曲线如图6所示。

4 结束语
    二级倒立摆是典型的多输入、非线性、强耦合系统。通过设计融合函数降低控制器的输入维数，用模糊控制解决多输入系统时遇到的模糊规则爆炸问题，使设计的实用模糊控制器成为可能。融合函数的设计方法还可推广应用到一级、三级倒立摆系统中。该模糊控制器设计切实可行，能较好地控制系统，达到较好的控制效果。模糊控制具有鲁棒性和稳定性好、算法简单等特点，应用在实时性要求较高的场合，该控制方法也可应用到其他多变量、非线性系统的控制问题。