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摘要：本文由毕奥—莎伐定律出发，首先讨论了由一定长度的线电流源和矩形环流源的磁感应强度分布，然后在此基础上，详尽的论述了基于体电流源的矩形线圈产生的磁场分布。
关键词：毕奥—莎伐定律；线圈；磁场；磁感应强度
中图分类号：TM55 文献标识码：A 文章编号：1006-883X(2003)
一、引言
载流线圈是大量电工设备中不可缺少的装置 ，是科学研究和工程问题中最常用的一种磁体，在线圈磁体的设计与研制中，常需要计算线圈的磁场分布。由于工程实际需要和研究问题方便，人们对轴对称线圈进行了大量而广泛的研究，取得了大量成果。在科学研究和工程设计中，矩形线圈的应用也是相当广泛的，但人们对矩形线圈的研究却很少，仅研究了长方形载流导体的磁场计算问题 ，而未真正涉及矩形线圈的磁场计算。
为了实现对弱磁场或者对不均匀磁场的测量，都需要一个激励源，以产生在一定体积范围内具有一定磁场强度（一般为几个nT到0.1mT）的匀强磁场。在实际运用中，用于产生匀强的装置很多，如螺线管、Helmholtz线圈、矩形线圈等，在本文设计的无损检测系统采用的是矩形线圈，本文将对矩形线圈产生匀强磁场的原理及计算方法进行详尽的分析。
二、具有一定长度带电直导线的磁场计算
根据毕奥—莎伐定律，空间线电流源产生的磁场强度为：
（1）
式中： B—空间点的磁感应强度，其方向垂直于直导线与空间点构成的平面；
—真空导磁率（4π10-7T×m/A）； I—导线的电流强度； l—导线长度；
R—源点到场点的距离； eR—R方向的单位矢量。
为了计算具有一定长度的电流源在其周围产生的磁场，建立如图1坐标系，并用毕奥—莎伐定律的积分形式：
（2）
电流的方向为Ii （x方向），场点坐标为P(0，0，Z)=Zk，而导线上的点可以表述为(x，Y，0)=xi+Yj，则有
带入上式，利用 
计算可得：
（3）
（4） 
（5） 
（6）
对于一般的情况而言：
—该空间点到带电导线的垂直距离，即|PQ|， 
；
a—导线底端到该空间点在导线上投影间的距离，即|QA|；
b—导线顶端到该空间点在导线上投影间的距离，即|QB|；
Y— 在XOY平面的投影，即|OQ|；
Z— 在XOZ平面的投影，即|OP|。这样空间点与其在导线和XOY平面的投影点构成一直角三角形△POQ。
三、矩形环流的磁场计算
矩形线圈的每匝相当于矩形环流，因此我们首先分析矩形环流在空间任意一点的磁感应强度的计算。这里使用叠加原理，即考虑在空间中矩形环流四条边（有一定长度的带电导线）的叠加效果，从而可得到在Z方向上的磁感应强度的矢量和为：
（76）
式中的B1z、B2z、B3z、B4z分别表示的是矩形线圈四条边对空间点产生的Z方向上的磁感应强度，也就是由公式（5）推导得到的结果。对于1边产生的磁场，首先做出如图2中的三角形，依据上一部分的推导可以很容易得到该条边产生的Z方向的磁感应强度，其他几条边的推导相同，在此不再赘述。
（8）
式中：I—矩形环流的通电电流强度；
P—空间点，坐标为（X，Y，Z）；
2a、2b—矩形线圈的长和宽。
本文设计的矩形线圈将用于无损检测的激励磁场的产生，因此关心的是矩形每条边垂直方向的磁感应强度的变化情况，也就是1、3边将产生的x方向上的磁感应强度，以及2、4边产生的y方向上的磁感应强度，因此有以下的结论：
（9）
（10） 
四、矩形线圈磁场的积分计算
以上对一定长度的带电导线以及矩形环流在其四周产生的磁感应强度进行了分析，下面在此基础上详尽介绍矩形线圈作为激励源产生的磁场分布。为了便于分析，对矩形线圈建立如图3的坐标系，由体电流源产生的磁感应强度，可以通过下式进行计算：
（11）
对于矩形线圈建立的坐标系，可以知道，一个场点的矢量可以表述为： 
，一个源点的矢量可以表述为
，空间任意点的磁感应强度可以看作是矩形四边的线圈共同作用的结果，同样有以下的结论： 
对于区域1和区域3只可能产生x、z方向的磁感应强度，而区域2和区域4只可能产生y、z方向的磁感应强度，下面分析区域1产生的磁场分布：
由（11）式可得：
（12）
其中： 
； 
在这里考虑的是矩形线圈，线圈的厚度相同，因此这里k1=1，其它几个方向在其周围产生的磁感应强度推导过程相同，其各自的电流可以分别描述为-Ji，-Jj，Ji，其具体的论证在此就不再赘述，以下就是分析得到的结果：
（13）
其中： 
； 
另外，对于区域3有： 
（14）
其中： 
； 
对于区域4有： 
（15）
其中： 
； 
因此对于空间任意一点，在坐标轴方向上的磁感应强度的分布可以通过下列计算式进行计算：
(16）
下面分析y方向上的磁场分布情况：
(17）
矩形线圈的四条边对空间的任意一点都会产生z方向上的磁场，因此由下式存在：
（18）
下面再介绍一下对上述（12）、（13）、（14）、（15）式进行数值积分计算的方法。在此介绍的使用复化梯形的方法，其积分形式如下： 
对区间[a，b]和[c，d]分别选取正整数m和n，在x轴和y轴上分别有步长： 
用复化梯形公式计算 
，计算中将x视为常数，有：
（19）
在将y当作常数，在x方向上计算（19）式，最终可得到下面的结论：
（20）
由分析可知，积分区域的4个角点的系数是1/4，4个边界的系数是1/2，内部的节点的系数是1，积分结果的误差可以通过下式得到：
（21）
其中 
和 
在积分区间内。
五、总结
本文从毕奥—莎伐定律关于计算线电流源、体电流源的理论出发，由简入深的讨论了矩形线圈的磁场的理论分析和计算，并通过实际模型的测试，证明了本文的数值计算方法是行之有效的，也对进行矩形线圈的设计提供了思路。
