1 概述
    如今的低功耗微控制器(μC)也开始集成原先只存在于大型微处理器、ASIC和DSP中的外设功能，使我们有可能以很低的功耗实现复杂的算术运算。本文讨论一种快速傅立叶变换(FFT)应用，并在一个含有单周期硬件乘法器的低功耗μC上实现该应用。这个FFT应用实时计算一路输入电压(图l中VIN)的频谱。为完成该任务，用一片模数转换器(ADC)对VIN进行采样，获得的采样传送给μC。然后,μC对这些采样执行256点FFT运算,获得输入电压的频谱。为便于检测，μC将计算出的频谱数据传送给PC，由PC实时显示出来。
    该FFT应用的固件针对MAXQ2000系列中的一款16位、低功耗μC用C语言编写。有兴趣的读者可以下载该项目的固件和电路原理图(http：∥www．maxim -ic.corn.cn/images/appnotes/3722/3722Firm -ware.zip)。编写FFT代码绝非易事。低功耗μC的一些局限又进一步使该任务复杂化。
    存储器：我们所选的μC有2 kB的RAM。已经知道该算法需要用到2N个16位变量来存储FFT数据，这样，μC可以执行N最高为512的FFT。然而，固件的其他部分也要用到一些RAM。因此，在此项目中，限制N于256。若采用16位变量来表示每个值的实部和虚部，FFT数据总共需要1 024字节的RAM。

    速度：低功耗μC尽管具有高MI/s/mA性能，仍然需要一些优化手段来使运行FFT的指令数尽可能少。好在本应用所用的C编译器(IAR的Em-bedded Workbeneh for MAXQ，见www.iar.com)可提供多种级别的优化和设置。高效地使用硬件乘法器可使代码优化到可以接受的水平。
    无浮点能力：所选的μC不具备浮点能力(低功耗产品一般都不具备浮点能力)。因此，所有运算都必须采用定点算法。为了表示小数，固件采用带符号的Q 8.7表示法。这样，在固件中假定：
    ●第O位至第6位代表小数部分；
    ●第7位至第14位代表整数部分；
    ●第15位代表符号位(二的补码)。
    这样的安排对于加法和减法没有影响，但在做乘法时必须注意将数据按照Q8.7格式对齐。

   
    所选的数据表示法还要适应FFT算法可能遇到的最大数值，同时又要提供足够的精度。例如，我们的ADC可提供带符号的8位采样，以二的补码表示。如果输入为最大幅度(对于带符号8位采样为127)的直流电压，则其能谱全部包含于X(0)中，用Q8.7表示为32 512。这个数值能够用单个带符号的16位数据表示。

2 固件
    以下部分讨论在低功耗μC上执行Radix-2FFT的固件实现。信号采样由ADC读出后被存储在x_n_re数组中。这个数组代表X(n)的实部。虚部存储在x_n_im数组中，在开始运行FFT前初始化为零。完成FFT后，计算结果取代原始采样数据，被存储在x_n_re和x_n_im中。
2.1 获取采样
    FFT算法假定采样是以固定的取样频率获得的。在为FFT获取采样时如果不加小心将会产生一些问题。例如，采样间隔的抖动就会给FFT结果引入误差，应尽力减小。

    清单1.两种ADC采样伪码算法
    ADC采样循环中的判决语句会造成采样间隔的抖动。例如，系统从ADC读取带符号的8位采样，并将其存储在一组16位变量中。程序清单1中给出了两种伪码算法，执行ADC读取-存储功能。算法l给出的方法会造成采样间隔的抖动，因为负采样比正采样需要更多的时间来读取并存储。
2.2 三角函数表
    本FFT算法通过查表(LUT)而非计算得到正弦或余弦函数值。程序清单2给出了对于正弦和余弦LUT的声明。实际固件的注释中包含了自动生成这些LUT的源代码，可由程序调用。两个LUT均含有N/2分量，因为旋转因子的索引号变化范围为0至N/2-1(见图2)。

    这些LUT中的数组被声明为const，强制编译器将它们存储于代码空间而非数据空间。由于LUT数值须采用Q8.7表示法，它们由正弦和余弦的实际值乘以27后得到。
2.3 位反转
    位反转排序(N已知)可在运行时通过计算、查表或直接利用展开循环编写。所有这些方法都需要在源代码的尺寸和运行速度间进行折衷。本FFT应用利用展开循环进行位反转，其源代码较长，但运行速度快。程序清单3显示了该展开循环的实现。本应用固件的注释中包含了用于程序自动生成展开循环的源代码。

    清单3.用于实现N=256的位反转的展开循环
2.4 Radix-2 FFT算法
    采样按照位反转方式重新排序后就可进行FFT运算了。本Radix-2 FFT应用的固件通过三个主循环执行图2所示的蝶型运算。外循环计数log2(N)级FFT运算。内循环执行每一级的蝶型运算。

    FFT算法的核心部分是执行蝶型运算的一小块代码。程序清单4给出了这一块代码，遗憾的是，它是本应用中唯一“不可移植”的固件。宏MUL_1和MUL_2利用C的硬件乘法器执行单指令周期乘法运算。这些宏的内容专用于MAXQ2000，可在实际固件中全部看到。
2.5 复数的极坐标转换
    为了便于确定VIN频谱的幅度，必须将复数形式的X(K)转换为极坐标形式。实现该转换的固件示于程序清单5。幅度值取代了原始的FFT结果，因为固件不再需要这些数据。

    频谱幅度通过一个二维LUT查表得到。第一索引为频谱实部的高4位(MSB)，第二索引为频谱虚部的高4位。为得到这些数据，可将带符号的16位数据右移11次。在从频谱的实部和虚部取得索引号前，需首先将它们转换为绝对值。因此，符号位为
零。
    频谱的幅度是关于X(N/2)对称的，因此只需将前(N/2)+1个频谱数据转换为极坐标形式。还有，我们可以看到，对于实数输入采样，X(0)和X(N/2)的虚部总为零，因此这两条谱线的幅度被单独计算。本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成该LUT的源代码，可由程序调用来计算X(k)的幅度。
2.6 Hamming或Hann窗
    此项目固件还包括了对输入采样加Hamming或Hann窗的LUT(Q8.7格式)。加窗函数可有效降低对时域采样X(n)的舍入操作所引起的频谱泄漏。Hamming和Hann窗函数分别如式l和2所示。

   
    程序清单6给出了实现这些函数的代码。同样，本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成这些LUT的源代码，可由程序调用来实现这些窗函数。

3 测试结果
    为了测试该FFT应用的性能，固件将X(K)幅度通过μC的UART端口上传给PC。专门编写的FFTGraph软件(随该项目固件一起提供)用于从PC串口读取这些幅值，并以图形方式实时显示频谱。图3显示了μC以200 kS/s采样四种不同输入信号并处理后，由FFT Graph所显示出来的结果。