图1：常见的反馈系统单环框图。箭头表示信号单向传输。

分析反馈系统的成熟方法如图1所示，从中可以计算出反馈系数K和环路增益T=AK。设计师的工作就是利用电路仿真软件设置K和前向增益A以使最终的闭环增益H满足要求。在闭环增益达到要求前通常需要多次设计反复，并需要硬件环路增益测量的帮助。

不幸的是这种方法会导致有偏差的结果。图1所示的框图代表了传统(不完整)的实际硬件系统。你的直接反应可能会是，“预期和实际结果之间的任何偏差都可能很小以至于可以忽略不计。”这有可能，但对于某些设计来说，这种偏差是不能忽略的。但是，采用GFT可以快速轻松地获得正确的分析结果，并精确地预测系统性能。

在图1中可以看到传统方法的更多细节。闭环增益H(“答案”)由下式给出：

(1)

更好的形式是：

(2)

在此，

图2：为了使用GFT，测试信号被注入误差聚集点的环内。

(3)

(4)

可以很方便地将偏差因子D定义为T的唯一函数：

(5)

以便闭环增益H可以简单地表达为：

(6)

等式(2)更好，因为H∞代表了规范要求。它是刚开始唯一的已知量，K=1/H∞的设计要满足规范要求。唯一困难的部分是设计环路增益T，以便实际的闭环增益H处于规范允许的容差范围内。也就是说，偏差因子D在指定带宽范围内必须尽可能接近1。

图3：该框图是通用反馈理论(GFT)的结果，其中Tn(或H0)代表了非理想性的一阶效应。

(2)或(6)也比较好，因为它体现了D-OA的一条基本原则，即“尽可能早地将答案中所需的量加入进问题的描述中。”在本例中，H∞是理想的增益，而D代表H∞和获得的实际答案之间的偏差。

同样重要的是，A没有出现在答案中，因为它只能通过T发挥作用，它本身的值没有任何意义。等式(5)和(6)表示了环路增益级余量和闭环增益的频域和时域响应之间的独特关系。

图1的模型是不完整的，因为它不能解决方块图内双向信号的传输问题。如果两个方块图都进行反向的传输，那么也会出现非零的反向环路增益，因此很容易将所有框图中省略的属性集中在“非理想”标签下。

通用反馈理论(GFT)

GFT完全摒弃了传统方法中固有的先验假设和近似值，并在电路单元方面直接产生结果。公式是：

(7)

等式7看起来类似于(2)，但有一个包含零环路增益Tn的特别项。根据T和D类推，零偏差因子Dn可定义为：

(8)

因此最终结果(7)可写为：

图4：标示了误差电压和误差电流的简单反馈放大器模型。

(9)

Dn项包含非理想性的一阶效应，是传统结果(6)中所没有的。

虽然(9)中的前面2个因子与(6)中的相同，但有本质的区别。传统的方法是将单个测试信号输入到环路内的任意一点，但这两个因子的计算方法不是这样。

在GFT中，测试信号不仅被输入到主环中(虽然在任何小环的外部)，而且要被注入到误差信号的汇聚点。另外，由于通常存在误差电压和误差电流，因此需要同时注入测试电压和测试电流。这种“双测试信号注入配置”见图2。

图5：IntuSOFt ICAP/4 GFT模板，可提供被注入的测试信号ez和jz，并针对(9)的GFT执行获得H∞、T、Tn和H所需的仿真和后处理。

在公式(9)的GFT中，三个因子H∞、D和Dn的计算都要满足施加于被注测试信号、输入和输出信号上的各种条件。这里不提供表达式，因为电路例子是用配备了GFT模块的Intusoft公司ICAP/4 Spice仿真器来处理的。

(7)或(9)的GFT结果通过图3的“扩展”框图表示。由于图3和图1的区别只是多了一个包含非理想性的模块，因此突出传统方法和基于GFT的方法的根本差别非常重要。

在传统方法中，图1的模块图是起点，其中两个方块图中的反向传输都被忽略了，结果(2)由图1导出。

在GFT方法中，图2是起点，结果(7)直接来源于没有任何假设和近似值的完整电路。由于(7)在图3中得到了表示，因此图3的框图就是结果的一部分。图3中的方块图是单向的，与电路各部分没有对应关系。

图6：归一化闭环增益=H∞、D和Dn有别于H∞的原因不仅是D，还有Dn，虽然它的影响不大。

用H∞、T、Tn或H0表达的这些方块图的值自动合并了实际电路中可能出现的非理想性。虽然非理想性将一阶效应表达为Tn或H0，但它们可能对T产生二阶效应，从而导致T和D的值与传统方法取得的值不同。

虽然图3的扩展框图展示了一个“环”，但即使物理上没有明显的环形，它也可代表任何线性系统。达林顿跟随器就是这样一个例子，GFT可以作为检查潜在不稳定性问题的方法。

使用带GFT模板的电路仿真

为了使用ICAP/4 SPICE仿真器，不做符号分析，只需在环内的误差汇聚点选择注入点即可，然后再选择正确的GFT图标。它的模板调用仿真器计算H∞、T和Tn，调用后仿真计算产生偏差因子D和Dn以及最终的H。

简单的反馈放大器实例

串行分流反馈放大器的电路模型如图4所示。前向路径是一个典型IC的简化模型。电压增益在前面两个阶段中实现，这个电压增益可能是差分电压，而电流增益在最后的达林顿跟随器阶段实现。

图7：比图7更真实的模型，每个有源器件都增加了2个电容(当然可以用库模型代替)。

频率响应取决于唯一的电容。每个有源器件都由一个简单的BJT T模型表示。通过将漏电流和源电流设置成同值，该模型还具有代表FET的优势。

应用GFT时关键的第一步是选择正确的测试信号注入配置。误差电压是指输入和反馈分离节点处反馈电压之间的电压，误差电流来自于反馈分离节点处，如图4所示。为了调用GFT模板，需要选择正确的双注入图标以提供测试信号ez和jz。这些测试信号被连接起来，从而使vy和iy对应于误差电压和误差电流，vx和ix对应于前向路径的驱动电压和驱动电流，如图5所示。

上述图标还提供系统输入信号ei，并能观察输出信号v0，因为它必须调整与输入相关的测试信号，以便为仿真建立各种所需的条件。

D-OA的任务之一是要在分析进行之前尽可能多地提供答案。在本例中，我们希望H∞等于1/K，即最初选用来满足系统规范的反馈系数的倒数。为了达到这一目标，需要对注入配置进行特殊设置。这里1/K=(R1+R2)/R1=10到20dB，在整个频率范围内是平坦的。

图8：外部电容引起空偏差因子Dn有很大的不同，结果导致归一化闭环增益H发生450度的巨大相位延迟。

我们希望T在低频时很大，并只有一个由CC决定的单极点。因此，D在低频0dB时将是平坦的，在交叉频率T点有一个极点，除此之外D与T完全一样。GFT结果如图6所示，期望值确实得到了证实。图6还给出了H的最终结果闭环增益，它的带宽与传统方法一样取决于T交叉频率。由于空偏差因子Dn在0dB点是平坦的，因此直到更高的空环增益交叉频率点，通过反馈路径(只存在非理想性)的反向传输(“误差路径”)也不会对H造成重大的影响。

反馈放大器的实际模型

图7是一个实际模型，它包括用于每个有源器件的2个附加电容。当然，也可以使用更复杂的仿真器件模型。与图5相比，我们期望的结果是什么呢？

由于所有外部元件都是电容，因此我们希望低频属性保持不变，但主节点和主环交叉频率需要降低。为了使两个电路之间的比较更有意义，图7中的Cc已经被充分地减小，从而保持相同的环路增益交叉频率。不过，外部电容会形成更多的节点和零点，因此高频环路增益可能会变得更加复杂。

使用外部电容的主要优势在于可以提供第二条反馈前向路径(通过成串的电容)，而第一条路径是通过“误差”方向的反馈路径，其输入信号可以到达输出端。另外，还能通过前向路径实现非零反向传输，反过来还将形成非零反向环路增益。没必要将这些非理想性分离开来，因为幸运的是在计算环路增益T(通常是弱效应)和零环路增益Tn(强效应)中它们都能自动得到解决。

图9：对于图7中的电路，H的巨大相位延迟会在阶跃响应中引起预料之中的迟时。然而，随之发生的上升时间会更短，也许还会产生意想不到的好处，即最终值可能会更早获得。至少非理想性真的会改善某些方面的性能。

对图7的GFT模板仿真的数值如图8所示，该结果可以证实我们的预测值。零环增益交叉频率得到了显著地降低。即使零偏差因子Dn的大小在频率范围的两端都是0dB，它的相位也能经受巨大的延时，而该延时将被直接转换成相应最终闭环增益H中巨大的相位延时。

虽然高频时的H大小可能在频域中没有多大意义，但它的相应相位在时域中具有控制效应。图5和图7的阶跃响应如图9所示。对于图7的电路来说，高频时H的巨大相位延时会引起阶跃响应中期望的时延。然而，随之发生的上升时间要比图5的短，也许还会产生意想不到的好处，即针对图9的最终值可能会比图7更早获得。

总之，公式(9)的GFT与传统方法(6)的主要区别是零偏差因子Dn，它能预测闭环性能的实质性修改。由Tn和Dn代表的非理想性经常出现在电子反馈系统的实际模型中，至少在某些时候确实会改善而不是降低系统的性能。这种Murphy定律的少有例外对使用GFT增加了不少吸引力。

不需要直接测量环路增益

为了检查是否有足够的相位余量，传统方法经常需要在实际硬件上测量环路增益，但一般很少想到测量结果是否与实际闭环增益一致。很难将单个测试信号注入进IC，更不用说两个或三个注入信号了。

幸运的是现在不再需要直接测量环路增益了。GFT对仿真模型来说非常精确，因此唯一要做的就是测量最终的闭环增益H，因此你可能检查它是否满足规范要求。如果仿真得到的H与测量得到的H有区别，那么就必须调整模型直到两者相同。当两者相同时，就可以确定模型是正确的，仿真会分别告诉你T和Tn的值。这是D-OA过程的最终结果。

作者：R.David Middlebrook
加州技术学院电子工程系教授
Tim Ghazaleh
市场总监
Intusoft公司