其中：

将eA1t，eA2t2，eAA3t3带入式(10)得到Buck变换器的精确离散模型：
3 Buck变换器中分叉与混沌现象动态演化过程

DC／DC开关变换器以往的建模方式都是采用近似等效、线性化的方法，从而能利用较成熟的线性系统理论对其模型进行研究。但不能展示DC／DC开关变换器非线性混沌现象，对开关变换器的开关非线性动态过程做细致的分析，研究表明需采用非线性离散模型[6]。

DC／DC Buck变换器工作在不连续工作模式(DCM)。用Matlab对图3进行仿真，根据前面建立的精确离散模型，将反馈参数K从0开始不断变大，其他参数如下：Us＝33 V；R＝12．5 Ω；L＝208μH；C＝222 μF；T＝333．33 μs；Vo＝25 V；rc为电容内阻，rc＝0．0124，P＝50 W。

图4是该离散模型的仿真结果，由图可见，随着反馈参数k的增加，Buck变换器表现出如下动力学行为：当K△0～0．134 5，系统呈现1周期运动；在K△0．134 5时，出现分叉现象，当K△0．184 6时，出现第二次分叉，在KA0．197 9～O．248 5范围内，存在2个混沌窗口；当K△0．248 5时，系统又经过边界碰撞分又，出现3周期运动，然后经过倍周期分叉，当K△0．661时进入混沌状态，但在混沌区中存在大量的周期窗口。从图中可以看出变换器从稳定工作，到周期分叉和进一步周期分叉，最后进入混沌状态，完整地展现出Buck DC／DC变换器从稳定、不稳定直至混沌演化的全过程。

4 DC／DC Buck变换器中分叉运动的稳定性分析

DC／DC Buck变换器离散系统的稳定性主要取决于系统在不动点处雅可比矩阵的特征值的大小，只有当他的特征值的绝对值都小于等于1时，系统就是稳定的。所以，由式(6)得到DC／DC Buck变换器离散系统在稳定点X的判别式为：

其中△χm＋1＝χm－X，△χm为系统扰动，当△χm很小时，上式的高阶项很小，可以忽略不计，所以DC／DC变换器的稳定性判据可简化为：

DC／DC Buck变换器(当他的主要参数确定后)的稳定性直接取决于控制系统的设计。如图3所示，K是DC／DC Buck变换器比例反馈参数，他的取值直接影响变换器的稳定性。将上述仿真试验时选取的参数代入式(12)，以反馈参数K为分叉变量，与电压反馈参数K相关的稳定性判别式可由式(14)得到：

由式(15)可以得到K的临界稳定值为：Kc＝0．133 5。对系统稳定性而言，当K＜Kc时，系统稳定，反之，系统不稳定，且开始出现倍周期分叉逐渐进入混沌状态，这更有力的证实了前面的仿真结果与理论完全相符。

5 结 语

本文对DC／DC Buck变换器的分又及其混沌行为进行进一步深入研究，研究结果表明：电压反馈系数K对该电路系统的动力学行为有十分重要的影响。当K△0～0．134 5，系统呈现1周期运动；在K△0．134 5时，出现分叉现象，当K△0．184 6时，出现第二次分叉，在K△0．197 9～0．248 5范围内，存在2个混沌窗口；当K△0．248 5时，系统又经过边界碰幢分叉，出现3周期运动然后经过倍周期分叉，当K△0．661时进入混沌状态，但在混沌区中存在大量的周期窗口。仿真结果表明，DC／DCBuck变换器存在着较大范围的非线性行为，当反馈参数变化时，系统就沿着倍周期轨迹运动，并最终进入混沌仿真结果与理论结果完全一致，仿真和理论分析证明所建立的DC／DC Buck变换器的精确数学离散模型的正确性能真实反映变换器各变量间的解析关系，从而为DC／DCBuck变换器的优化设计和控制提供了理论依据。