对于灰度图像中任意点的梯度幅值用R表示，设R0为边缘点P0(m,n)的灰度梯度方向的模，R-1，R1分别是在梯度方向上与P0相邻的两像素点P-1，P1的梯度幅值，经推导可得亚像素点的坐标(xe,ye)为：

   
式中：W为相邻像素点到边缘点距离，θ为梯度方向与x轴正向夹角。
    由式(4)可得出，亚像素细分定位边缘的前提条件为：R0>R-1且R0>R1。
    采用扩展的Sobel细化算子搜索单像素边缘，在搜索过程中，剔除边缘点梯度方向的非极大值，从而保证亚像像素细分定位的前提条件成立。方向模板与P-1，P1点坐标对应表如表1所示。

4 实验与结果分析
    为了验证该算法，提取在线实时采集的微小零件图像进行实验。
    (1)可扩展的Sobel细化算子的验证 引入灰阶Sobel算子后，得到的边缘图仍是灰阶图像，此时采用Sobel算子处理，得到边缘的边缘图。在新的边缘图上，原边缘的两侧得到新的边缘，而中间部分却变成背景，且其宽度小于原边缘。利用该特点细化原边缘，即将原边缘减去新边缘图，再将结果中与负的部分对应的边缘变为零，最后得到接近单像素宽的边缘图，从而达到细化边缘的效果，如图2所示。

    (2)亚像素细分算法定位 经过扩展方向模板的Sobel细化算子后，提取接近单像素的边缘，在其梯度方向上用亚像素细分算法对图像边缘进一步定位。
    图3是在原边缘基础上取一段圆弧，对其细分前后的坐标图，可以看出，经过亚像素细分算法定位后得到的像素边缘比较光滑。相对于未细分，其精确度得到提高。

    (3)计算标准偏差 以单个点的像素坐标值为标准坐标值，将定位后的单点与对应点的坐标差作为算法偏差，计算得到的标准偏差约0．20 pixel。

5 结论
    采用的边缘检测算法是通过扩展的4个方向的Sobel算子引入衰减因子而得到无失真的灰阶边缘图，再采用Sobel算子细化，可使较陡边缘部分光滑连续，且接近单点宽的边缘；采用二次多项式插值法在梯度方向插值后得到光滑边缘，定位精度达到0．20 pixel，适于对精度要求较高的视觉系统。