摘 要

伴随着通讯与信息科技的迅猛发展，数据压缩技术己经成为信息时代人们工作与科研的有力工具。数据压缩技术，作为信息论研究中的一个重要课题，一直受到人们的广泛关注。矢量量化技术作为数据压缩领域里的一个重要分支，以它压缩比高、编码速度快、算法简单清晰等良好的特性，在图像压缩等领域都已成为有力的手段和方法。
本文以矢量量化在静止图像方面的应用为研究目标，介绍了矢量量化的定义，基本理论、相关概念及发展现状，重点讨论研究了矢量量化的三大关键技术–码书生成和码字搜索和码字索引分配。详细阐述了码书设计算法中的LBG算法和最大下降MD算法；快速码字搜索中的基于不等式快速码字搜所和码字索引分配中的BAS算法和禁止搜索码字索引算法等。
最后总结分析了现有典型的算法和改进算法并提出了自己的基于矢量量化算法的实现方法，编程实现了一个完整的数据压缩软件，取得了较好的效果。

关键词： 数据压缩，矢量量化，LBG
ABSTRACT
第一章 绪论
1．1 课题的研究背景及意义
1．1．1 研究背景
随着计算机和大规模集成电路的飞速发展，数字信号分析和处理技术得到很大发展，并已经广泛应用于通信、雷达和自动化等领域。数字信号的突出优点是便于传输、存储、交换、加密和处理等。一个模拟信号f(t)，只要它的频带有限并允许一定的失真，往往可以经过采样变成时间离散但幅值连续的采样信号f(n)。对于数字系统来说，f(n)还需经过量化变成时间和幅值均离散的数字信号x(n)。
通信系统有两大类：一类是传输模拟信号f(t)的模拟通信系统；另一类是传输数字信号x(n)的数字通信系统。在任何数据传输系统中，人们总希望只传输所需要的信息并以最小失真或者零失真来接收这些信息。人们常用有效性（传输效率）和可靠性（抗干扰能力）来描述传输系统的性能。与模拟通信系统相比，数字通信系统具有抗干扰能力强，保密性好，可靠性高，便于传输、存储、交换和处理等优点。在数字通信中，码速率高不仅影响传输效率，而且增加了存储和处理的负担。
上个世纪八、九十年代，计算机技术和网络技术取得了飞速的发展，人类社会进入到了前所未有的信息化时代。随着信息时代的来临人们对通信业务的要求不断增长，在日常生活中，大量的信息数据需要传输、存储和处理。科学实验表明，人类从外界获取的知识之中，有80%以上都是通过视觉感知获取的【1】。眼睛获取的是图像信息，和语音、文字等信息相比，图像包含的信息量更大、更直观、更确切，因而具有更高的使用效率和更广泛的适应性，一幅图胜过千言万语， 图像信息是人类认识世界、自身的重要源泉。所以在信息数据中，绝大部分数据都是图像数据，而图像数据的传输常常要占用很大的带宽，需要很大的存储空间，因而怎样对图像数据进行行之有效地传输是一个极具挑战性的课题。
数字图像中包含的数据量十分巨大，例如，800 x 600分辩率的真彩色图像，其数据量为800 x 600 x 3=1440000字节，约1.4MB；而一分钟CD音质的音频文件一般需要l OMB左右的存储空间。在视频传输中PAL制式(25帧/秒)下，画面分辨率为640 x 480下，真彩色(24位)的图像序列，播放1秒钟的视频画面数据量为：640 x 480 x 3 x 25 = 23,040,000字节，相当于存贮一千多万个汉字所占用的空间。如此庞大的数据量，给图像的传输、存贮、传输线的传输率(带宽)以及计算机的处理速度等增加巨大的压力。由此可见，对降低传输成本，增加数据传输的可靠性，不断满足人们对信息传输的需求，图像压缩都具有十分重要的作用。为了解决好这个问题，我们就必须对图像进行编码压缩，在保证一定图像质量的前提下，有效地减少传输时所需的数据量和占用的频带。
1．1．2 研究意义
图像压缩就是在没有明显失真的前提下，将图像的位图信息转变成另外一种能将数据量缩减的表达形式，即去处冗余信息。首先，尽管图像中数据量很大，但其行、列以及帧间都具有极强的相关性或冗余信息。即一个象素的灰度值，总是和它周围的象素的灰度值有着某种关系，可以由它们推算表示出来，应用某种方法提取或减少它们之间的这种相关性，即可实现图像压缩。其次，大部分图像视频信号的最终接收者都是人眼，而人类的视觉系统是一种高度复杂的系统，它能从极为杂乱的图像中抽象出有意义的信息，并以非常精练的形式反映给大脑。人眼对图像中的不同部分的敏感程度是不同的，如果去除图像中对人眼不敏感或意义不大的部分，对图像的主观质量是不会有很大影响的，也实现了图像压缩。正由于图像压缩的必要性和可能性，图像压缩编码研究成为一个越来越活跃的领域。在诸如基于Internet的多媒体通信、可视电话、数字电视，多媒体计算机等领域得到了广泛的应用。
1．2课题研究现状
矢量量化的基本理论早在二十世纪六七十年代已有人关注，而在二十世纪八十年代开始逐步完善起来。矢量量化是分组量化的一种，受到广泛注意和使用的分组量化方法是由黄和舒尔泰斯于1963年首先提出来的【2】，他们指出分组量化的实现方法:首先与正交矩阵相乘将相关的采样变换为不相关的采样，然后再在每组固定的总比特数限制下，将不同的量化比特数目分配给每个不相关的采样值。1979年，格尔肖在他的论文【3】中详细阐述了分组量化的一般性理论，它将贝内特早年关于均方误差准则的量化模型推广到分组量化中。
将矢量量化技术推向研究高潮和推广应用应归功于1980年由Linde. Buzo和Gray提出来的一种有效的LBG矢量量化码书设计方法【4】，该文献己经成为矢量量化的经典文献，是矢量量化技术发展的基石。
在20多年历程中，学者们在以下五个方面对矢量量化技术展开研究：
1. 针对基本矢量量化器复杂度大和比特率固定的缺点，开发其它类型的矢量量化器；
2. 针对基本矢量量化器的LBG码书设计算法容易陷入局部极小、初始码书影响优化结果和计算量大的缺点，学者们引入了神经网络、优化理论、模糊集合等技术，提出了各种各样的码书设计算法；
3.在矢量量化编码场合中，针对基本矢量量化器的穷尽搜索编码算法的计算量大和比特率固定的缺点，提出各种各样的快速码字搜索算法和变比特率码字搜索算法；
4. 矢量量化技术的应用；
5. 考虑到信道噪声将会在矢量量化解码端引入额外失真，学者们开始研究码字索引分配算法以减少由于信道噪声引起的失真。
1．3 课题研究内容
1. 研究内容
1）对数据压缩的基本理论、技术标准、评价方法进行研究和分析
2）对基于矢量量化的数据压缩算法及其衍生算法进行逻辑上的分析和比较
3）选择矢量量化算法中的一种算法进行实现，完成一个完整的数据压缩软件
2. 本文结构安排
第一章为绪论，主要介绍了课题的研究背景，简要地阐述课题的研究意义最后，总结了本论文的研究内容。
第二章中，首先对数据压缩作了简要的综述；然后介绍了矢量量化数据压缩算法的起源，发展和相关的数学模型及理论基础；最后写了矢量量化的关键技术和矢量量化技术指标。
第三章是对矢量量化算法的研究，首先分别论述了矢量量化的三大关键技术的算法，介绍了码书设计中的LBG算法和最大下降算法；码字搜索算法中的基于不等式的快速码字搜索算法和等均值等方差最近邻搜索算法；码字索引分配算法中的BSA算法和禁止搜索码字索引算法。
第四章是矢量量化算法的实现。详细介绍了矢量量化算法的实现过程，并对实验结果进行了分析和评价。

第二章 矢量量化技术简介
2．1 数据压缩技术
2．1．1数据压缩技术的发展
数据压缩的研究过程一直有两个发展方向【5】：一个是许多数学家所致力于的建立信源和数据压缩的数学模型，并从中找出衡量数据压缩质量的技术指标及最优压缩性能指标；另一个则是众多的工程技术人员所进行的工作，他们的研究重点为建立一个能实现数据压缩功能的系统，以服务于工程应用，或者对这些数据压缩系统进行分析或模拟，以确定它们的性能指标。
不论是理论研究还是工程实践，1977年以前，数据压缩作为信息论研究中的一项内容，主要是有关信息嫡，数据压缩比和各种编码方法的研究，即按某种方法对源数据流进行编码，使得经过编码的数据流比原数据流占用较少的空间。其中基于符号频率统计的霍夫曼编码具有良好的压缩性能，一直占据重要的地位，不断有基于霍夫曼编码的改进算法提出。
随着计算机技术的飞速发展，数据压缩作为解决海量信息存储和传输的支撑技术受到人们的极大关注。1977年，两位以色列科学家Jacob Ziv和Abraham Lempel发表了论文”A universal algorithm for sequential data compression”，提出了不同于以往的基于字典的压缩算法LZ77【5】。1978年，又推出了改进算法LZ78。他们的研究把无失真压缩的研究推向了一个全新的阶段。
随着信号处理研究的不断的发展，数字图像信号、语音信号等都被大量的引入到有关的领域中。由于图像信息占用较多的存储空间，而图像通信又是目前非话业务的主流，因此数据压缩技术在图像通信中得到了最广泛的应用。
在图像编码中，最早研究的是预测编码，曾作为经典理论而登载于各种专著，并得到广泛的应用。近年来，随着神经网络理论的兴起，有人采用BP网进行非线性预测的尝试，并取得了较好的效果。
1969年，在美国举行首届”图形编码会议”，表明图像编码以独立的学科挤身于学术界。而变换编码在五年左右的时间内成为研究热点。变换编码中的DCT编码由于编码效果较好，运算复杂度适中等优点，已经发展成为目前国际图像编码标准的核心算法。
80年代中后期，众多研究者相继提出了在多个分辨率下表示图像的方案，主要的方法有：子代编码，金字塔编码，小波变换编码等。基于小波变换的方法具有较高的压缩性能，己发展为JPEG 2000的核心算法。在近年来的甚低码率的编码研究中，有一种称之为模型基的编码方法颇引人注意，这种方法压缩比高，但适用于场景比较简单的特定场合。
在1988年左右，有人提出了一种分形图像编码的压缩方案。这种方案思路新颖、压缩潜力大、并具有解码分辨率无关性等优点，是一种很有潜力的编码方法。
尽管用软件压缩方法可以较好地实现数据压缩的目的，但由于压缩算法的运算量较大，需要很高的运算速度和存储空间，这对现有系统来说是很大的负担。为了解决这个问题，人们在继续探索数据压缩技术的同时，着手研制生产高性能的芯片和系统。一般在对时间要求不高的场合采用软件压缩，而对运行速度有特殊要求的情况下，可使用硬件压缩。不过，目前硬件压缩的开销远远大于软件压缩的开销。
2．1．2 数据压缩技术的分类
数据压缩的研究已有几十年的历史，其间，人们提出了各种各样的压缩算法。在分类上，也存在几种不同的方法，有人按编码失真程度或者说按压缩过程的可逆性将数据压缩编码分为两种类型:无失真压缩编码 (Noiseless Coding)与有失真压缩编码 (Noise Coding)；有人按编码基建模的不同将数据压缩分成模型基编码和波形基编码；又有人将它分为第一代压缩编码和第二代压缩编码；还可按压缩技术所使用的方法进行分类，可分为预测编码(Predictive Coding)、变换编码(Transform Coding)和统计编码(Statistical Coding)三大类。目前，较为认可的是第一种分类方法【6】。
1．无失真压缩
无失真压缩也可称之为冗余度压缩(Redundancy Compression)，在数字图象压缩中，有3种基本的数据冗余：编码冗余、像素间冗余以及心理视觉冗余。而无失真压缩就是利用数据的统计冗余进行压缩，除去或尽量除去数据中重复和冗余部分，而不丢失其中的任何信息，可完全恢复原始数据而不引入任何失真，但压缩率受到数据统计冗余度的理论限制，一般为2:1到5: 1这类方法广泛用于文本数据、程序和特殊应用场合的图像数据(如医学图像等)的压缩.由于压缩比的限制，仅使用无损压缩方法不可能解决图像和数字视频的存储和传输问题。
常用的无失真压缩技术有：哈夫曼编码，算术编码，游程编码，LZ编码等。
1）行程长度编码（RLE）
行程长度编码（run-length encoding）是压缩一个文件最简单的方法之一。它的做法就是把一系列的重复值（例如图象像素的灰度值）用一个单独的值再加上一个计数值来取代。比如有这样一个字母序列aabbbccccccccdddddd它的行程长度编码就是2a3b8c6d。这种方法实现起来很容易，而且对于具有长重复值的串的压缩编码很有效。例如对于有大面积的连续阴影或者颜色相同的图象，使用这种方法压缩效果很好。很多位图文件格式都用行程长度编码，例如TIFF，PCX，GEM等。
2）LZW编码
这是三个发明人名字的缩写（Lempel，Ziv，Welch），其原理是将每一个字节的值都要与下一个字节的值配成一个字符对，并为每个字符对设定一个代码。当同样的一个字符对再度出现时，就用代号代替这一字符对，然后再以这个代号与下个字符配对。LZW编码原理的一个重要特征是，代码不仅仅能取代一串同值的数据，也能够代替一串不同值的数据。在图像数据中若有某些不同值的数据经常重复出现，也能找到一个代号来取代这些数据串。在此方面，LZW压缩原理是优于RLE的。
3）霍夫曼编码
霍夫曼编码（Huffman encoding）是通过用不固定长度的编码代替原始数据来实现的。霍夫曼编码最初是为了对文本文件进行压缩而建立的，迄今已经有很多变体。它的基本思路是出现频率越高的值，其对应的编码长度越短，反之出现频率越低的值，其对应的编码长度越长。
2．有失真压缩
有失真压缩也可称为嫡压缩(Entropy Compression)，这是一种不可逆压缩。他利用了人类视觉对图像中的某些频率成分不敏感的特性，在压缩过程中会损失掉一部分信息，这样，其原始数据不能由压缩数据完全恢复出来。他是以丢失部分信息为代价而获得较高的压缩率。当然，为了确保恢复后的数据能基本保持原数据的特征，这种失真应该限制在某个规定的范围之内。无失真压缩主要有两大类型：特征抽取和量化方法，特征抽取的典型例子如指纹、汉字的模式识别，一旦抽取出足以有效表征与区分不同模式的特征参数，便可用它取代原始的图像数据，这一类方法一般是用于特定的环境。量化则是更为通用的熵压缩技术，除了直接对无记忆信源的单个样本做所谓的零记忆量化外，还可以对有记忆信源的多个相关样本映射到不同的空间，去除了原始数据中相关性后再做量化处理，由此又引出了预测编码和变换编码。
1）矢量量化编码
矢量量化编码利用相邻图象数据间的高度相关性，将输入图象数据序列分组，每一组m个数据构成一个m维矢量，一起进行编码，即一次量化多个点。根据仙农率失真理论，对于无记忆信源，矢量量化编码总是优于标量量化编码。
2）预测及内插编码
一般在图象中局部区域的象素是高度相关的，因此可以用先前的象素的有关灰度知识来对当前象素的灰度进行预计，这就是预测。而所谓内插就是根据先前的和后来的象素的灰度知识来推断当前象素的灰度情况。如果预测和内插是正确的，则不必对每一个象素的灰度都进行压缩，而是把预测值与实际象素值之间的差值经过熵编码后发送到接收端。在接收端通过预测值加差值信号来重建原象素。
3）变换编码
变换编码就是将图象光强矩阵（时域信号）变换到系数空间（频域信号）上进行处理的方法。在空间上具有强相关的信号，反映在频域上是某些特定的区域内能量常常被集中在一起，或者是系数矩阵的分布具有某些规律。我们可以利用这些规律在频域上减少量化比特数，达到压缩的目的。由于正交变换的变换矩阵是可逆的且逆矩阵与转置矩阵相等，这就使解码运算是有解的且运算方便，因此运算矩阵总是选用正交变换来做。

图2.1 数据压缩技术的分类
2．1．3 数据压缩算法的度量标准
对于一种数据压缩算法的性能，有一定的衡量标准，为了后面几章描述的方便，也为不至于产生歧义，对这些标准作以简单的介绍【7】。
1．算法性能评价
1）压缩比（CR：Compression Ratio）：
压缩比定义为原始数据量与压缩后量的比值，即
压缩比 = 原始数据量/压缩后量
2）计算复杂度：
计算复杂度可以用算法处理一定量数据所需的基本运算次数来度量。如处理一帧有确定的分辨率和颜色数的图像所需的加法次数和乘法次数。
压缩算法分为编码部分和解码部分，如果两者的计算复杂度大至相当，则算法称为对称的，反之称为非对称的。
2．图像质量评价
1）均方误差（MSE）
对于模拟信号，设原始数据为x(t)，编码、解码后的数据为y(t)，二者之差为e(t)，即e(t) = x(t) - y(t)。则e(t)的方差如公式2.1所示：
（2.1）
通常误差均值μe=0， 又称为均方误差（Mean Squared Error）。
2）信噪比（SNR）：
对于离散信号，设原始数据为 ，编码、解码后的数据为 ，它们的差值为 的均方误差为 ，信噪比（Signal to Noise Ratio）定义为原始数据方差 与重建数据误差方差 的比值如公式2.2所示：
（2.2）
3）峰值信噪比（PSNR）：
对于离散图像数据，在信噪比的计算中常用图像数据中的最大值xmax来代替均方根值бx，得到峰值信噪比如公式2.3所示
（2.3）
2．2 矢量量化的定义及理论基础
2．2．1 矢量量化的起源及发展
矢量量化基本理论早在20世纪六七十年代己有人关注，八十年代开始逐步发展完善起来。1956年，Steinhaus第一次系统阐述了最佳矢量量化问题【8】；1978年，Buzo第一个提出实际的矢量量化器。1980年，Linde, Buzo和Gray将Loyd-Max算法推广，提出了一种有效的矢量量化码书设计算法一一LBG【4】算法，将矢量量化技术的研究和推广应用推向了高潮，成为矢量量化技术发展的里程碑。
在20多年的发展历程中，人们全面研究了矢量量化的理论和应用，开发了多种类型的矢量量化器。虽然矢量量化技术研究已经日趋成熟，但仍存在很多有待解决的问题，如矢量量化码书标准与编码对象密切相关，不同应用场合下码书结构、尺寸以及矢量维数都不相同。矢量量化的压缩标准也一直没有提出。目前的研究大多停留在理论方面，各种优化的矢量量化器的硬件实现还有待于进一步的研究。因此，有关矢量量化技术的研究还有很多工作要做。
矢量量化在20多年的发展历程中，主要是从以下几方面得到了发展：
(1) 矢量量化器的研究，对基本矢量量化器复杂度大和比特率固定的缺点，开发其它类型的矢量量化器；
(2) 矢量量化码书设计算法研究：针对基本矢量量化器的LBG码书设计算法 容易陷入局部极小、初始码书影响优化结果和计算量大的缺点，学者们引入神经 网络、优化理论、模糊集合等技术，提出了各种各样的码书设计算法；
(3) 矢量量化码字搜索算法研究：在矢量量化编码场合中，针对基木矢量量 化器的穷尽搜索编码算法的计算量大和比特率固定的缺点提出各种各样的快速 码字搜索算法和变化特率码字搜索算法；
(4) 矢量量化码字索引分配算法研究：考虑到信道噪声将会在矢量量化解码端引入额外失真，学者们开始研究码字索引分配算法以减少信道引起的失真。
2．2．2 矢量量化的定义及理论基础
1. 定义
一个维数为k，尺寸为N的矢量量化器可以定义为从k维欧儿里得空间 到一个包含N个输出(重构)点的有限集合C的映射Q【9】，表示为公式（2.4）：
（2.4）
其中， 。
C是重构码字矢量集合，称为码书，其尺寸(大小)为N。码书的N个元素Yi称为码字或者码矢量，它们均为k维欧几里得空间 中的矢量。输入矢量空间 通过尺寸为N的矢量量化器Q后，被分割成N个互不重叠的区域又称为胞腔，这个过程称为输入矢量空间的划分。对 胞腔 定义为公式（2.5）：
（2.5）
2. 理论基础
矢量量化的理论基础是香农的率失真理论。1948年，香农定义了信道容量，并证明只要编码速率不超过信道容量，符号就能以任意小的差错概率在该信道中传输。1959年，香农定义了率失真函数R(D)，并证明只要R(D)不超过信道容量就能保证接收端的失真不超过给定阈值D。在数学上，R (D)定义为在给定失真D的条件下，系统所能够达到的最小码速率。对于幅值离散的信源， R(D)定义如下公式（2.6）所示:
（2.6）
其中， ，平均失真满足公式2.7：
（2.7）
式中d(X,Y)是失真测度，它表示输出采样值Y再现原始采样值X所引入的失真， P(Y/X)表示在己发送X的情况下接收到Y的概率。R(D)的单位为比特/采样。同样，也可以定义失真率函数D(R)，它是率失真函数的逆函数，其含义为在定速率不超过R的条件下，系统所能够达到的最小失真，它是在维数k趋向无穷大时Dk(R)的极限，即 。
香农理论表明在速率受限的条件下或在平均失真受限的情况下，通信系统所能达到的最优性能。率失真函数通常又被作为理论最优值，如果一个系统的性能低于理论最优值，则一定可用更好的编码技术获得系统性能的改善；如果一个系统的性能接近理论最优值，则此系统已接近最优，无法再做太多改善；一个系统的性能不可能优于理论最优值。由香农理沦可知，理论上，矢量量化技术只要不断的增加矢量的维数k，编码的性能就可任意接近率失真函数，使系统性能达到最优。因此，香农的率失真理论指出了矢量量化技术的优越性，是矢量量化技术的理论基础。
2．3 矢量量化的相关概念
2．3．1 数学模型
设有一个信源采样数据序列，我们把每K个数据分成一组，每组数据都记录成矢量形式 (i =1,2 ,…,N )，称x为输入矢量。设 为一个K维输入矢量的集合。
再把T划分成M( <N)个子空间 ，即各子空间满足公式(2.8)：
(2.8)
通常，我们把这M个子空间称为Voronoi胞腔(Cells)，或者简称胞腔，有时也把它称为一个分类或分区。在每个胞腔R，中我们再找到一个代表元Yi,我们称所有这些代表元组成的集合C=( )为码书(Codebook)。这些代表元也称为码字(Codeword)集合1= (1,2,…, M}称为码字的索引集合。一个矢量量化器包括编码器和解码器两部分。编码器主要包括一个码书和一个量化器。
量化器Q(X)定义如式(2.9)：
Q: T C；
当X 时，Q (X)= Yi (i=1 ,2,…,M). (2.9)
其中，Q(X)是一个多对一的函数，因此它是不可逆的。解码器主要包括一个与编码器相同的码书和一个码字检索器 (i)。