在式(6)中，小波的形状没有改变，只是在水平尺度上被压缩了2j，并且位置在新的尺度上被平移了k个单位，这与二进小波变换的形式是一致的。其j值决定谐波小波的尺度或层数。例如当j＝O时，谐波小波的傅里叶变换位于[2j+1π，4π]频带中；若在第j层时，则谐波小波的傅里叶变换位于[2j+1π，2j+2π]频带之间。即随着j值的增大，其频谱的带宽以二进方式逐渐加大。谐波小波对信号的分解从低频到高频是以2倍的关系逐渐增加的，它对信号的低频部分划分比较细，而对信号的高频部分划分比较粗，这说明经典谐波小波分解也属于二进小波分解的范畴。
1.2 谐波小波的改进
    为了使分析频带的选取更为灵活，不受二进方式的限制，对经典谐波小波加以改进，拓宽谐波小波的概念及应用范围。引入正整数m一2j，n＝2j+1(m<n)，把m，n代入式(4)，并通过伸缩平移生成的谐波小波族为：

   
其频域表达式为：

   
    由式(7)可以看出，实际上m，n既可以取正整数，也可以取负整数，这样它们之间就不必满足，n＝2m这一条件的限制(二进限制)，只要保证m<n即可，这就使得谐波小波在分析频带的选取上具有更大的灵活性。这就是改进的谐波小波相对于经典谐波小波的一个明显优势。
    若给定谐波小波的位移步长为k/(n－m)，k为整数，对式(7)进行平移变换可得：

   
    由此可见，式(10)是分析频率带宽为(n－m)2π，分析时间中心在t＝k、(m－m)处的谐波小波一般表达式。文献[12]证明了谐波小波族ψm，n(t)是一个正交的解析信号，它构成了空间L2(R)的一组正交基。
1.3 谐波小波包
    由式(9)可知，谐波小波的关键在于尺度参数m，n的选取。令信号的奈奎斯特频率为fs，则第j(j为非负整数)层各小波的分析频率带宽为：

    
    这样可以设定分析频带的上、下限频率分别为：

   
    随着分解层数j的逐渐增大，可以体现出谐波小波包对信号任意频段的“细化”能力。如果要对信号的某一频段进行重点分析，则先由式(11)确定信号的分解层数j，再由式(12)确定所要分析频带的上、下限频率，也就是定义谐波小波的尺度参数m，n。
    由于谐波小波没有尺度函数，因此谐波小波包的思想与传统的小波包理论有所不同，不能采用正交滤波器组对信号进行频带分解。由式(9)可知，谐波小波具有可调的尺度参数m，n，对在不同频带的信号进行分解时采用不同的m，n，这样就可以将谐波小波良好的滤波效果应用到谐波小波包的分析中。信号经过小波包分解后，在各个频带中的信号仍具有与原始信号相同的频率分辨率，而且分解后信号的数据长度并没有减少，这克服了Mallat算法的小波包分解带来数据长度减少的问题。由于小波滤波器不具有理想“盒形”的频谱特性，起始频率和截止频率之间存在过渡带，这导致在信号的分解过程中往往会发生频带间的能量冗余，造成误差，而谐波小波包滤波器则完全可以克服以上问题。具体方法是首先得到待分析信号的频谱，确定谱线的频点数值，然后根据预设的窗宽来确定尺度参数。

2 谐波小波变换及算法
2.1 谐波小波变换
    根据小波变换的定义，对某一尺度的小波函数ψm,n(t)，信号z(t)∈L2。(R)的小波变换可表示为：

    式(14)和式(15)分别称作信号x(t)在m，n尺度下的时域和频域的谐波小波变换表达式。
    对于离散信号序列x(r)，r=0，1，2，…，N-1，其谐波小波变换为：

   
    由式(13)～式(16)可以看出，信号的谐波小波变换非常简洁，容易实现。同时，由于谐波小波对信号各次谐波分量的相位有保持功能，所以对信号进行谐波小波分解后，也可以对信号进行重构，从而实现信号的滤波和降噪。