摘要：电力系统中的谐波对电网危害巨大，对其进行监测和分析就显得非常重要。在谐波小波以及谐波小波包的基础上，提出谐波小波变换的表达式以及谐波小波算法，给出电力系统谐波分析的仿真示例。仿真结果表明，利用谐波小波变换分解，并通过最小二乘法拟合出的各次谐波频率和幅度的误差率完全符合谐波分析的精度要求。在电力系统谐波的分析中，谐波小波算法具有其他算法无可比拟的优越性。
关键词：谐波小波；谐波分析；电力系统；谐波；间谐波；最小二乘法拟合

0 引 言
    由于电力系统中大量非线性设备的存在，导致它们在工作时不仅会产生基波频率的整数次谐波，还可能产生基波频率的非整次谐波，即间谐波，这会对电能造成严重的污染，增加能量损失，威胁电力设备的安全运行。因此，谐波和间谐波的分析对于电力系统的监控与保护都具有十分重要的意义。
    传统的正交小波包变换在电力系统谐波分析与检测中有着广泛的应用。但是由于小波包变换固有的性质，如小波包变换的混叠现象比小波变换的混叠现象更为直观形象，其影响也比小波变换严重，这主要是由于分解滤波器之间存在频带混叠现象，小波频谱的起始频率和截止频率之间存在过渡带。谐波小波变换是一种基于快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform，FFT)及其逆变换(Inverse Fast Fourier Transform，IFFT)的快速算法，在数值上容易实现，其算法快，精度高，具有很好的工程实用价值。通常的小波算法(如Mallat算法，Daubechies小波)在分解信号时要隔二取一，从而使得在小波分解时各层的数据点数和采样频率随尺度的增加逐渐减小。谐波小波相对于传统的小波函数而言，具有更普遍意义上的正交性以及优异的视频分解能力，其明显优势就是信号任意频段的“细化”能力，虽然它在时域中的局部化能力一般，但在频域分析中对精度有特殊要求的场合，这种优势就非常符合需求。

1 谐波小波分析
1.1 经典谐波小波
    设时域函数h(t)和h(t)的傅里叶变换所对应的频域函数为Ｈｅ(ω)和Ｈ。(ω)，它们的表达式见式(1)：

   
式中：下标e和o分别表示该函数是变量ω的偶函数和奇函数。
    将频域函数Ｈｅ(ω)和Ｈ。(ω)组成复合函数Ｈ(ω)，可得：

   
    H(ω)具有良好的紧支撑特性和盒形特征。对式(1)作广义的傅里叶逆变换(忽略系数1/(2π))，可得：

   
    将时域函数he(t)和h。(t)组成复合函数h(t)，可得：

   
    由此定义的复合函数h(t)称为谐波小波函数，亦称为经典谐波小波或二进谐波小波，其实部he(t)和虚部h。(t)的波形如图1所示。

    由图1可以看出，谐波小波h(t)是由相差90°的实部偶小波和虚部奇小波构成。虚部奇小波所构成的滤波器都是零相移滤波器，具有锁定信号相位的功能。它
在时域上的衰减速度较慢(与时间t成反比)，导致其时域局部化特性较弱。
    为了获得谐波小波h(t)的二进伸缩平移系，令：

   
式中：j为非负整数；k为整数。
    把式(5)代入式(4)，可得：