耦合腔行波管具有工作带宽适中，高功率，高效率，高增益和良好的散热能力的特性，因此被广泛地应用于卫星通信、雷达、遥感遥测等领域。目前在研制行波管时普遍采用三维PIC粒子模拟软件指导设计，国内外不少文献都有相关报道。在此采用模式展开法建立了考虑相对论效应时耦合腔行波管一维非线性注一波互作用工作方程组，采用田炳耕的圆盘模型计算了空间电荷场，并对互作用工作方程组进行数值求解，分析一个工作在S波段的休斯结构耦合腔行波管的一些重要的非线性特性如效率、增益、带宽。讨论了空间电荷场对注一波互作用的影响。

1 基本方程
1．1 激发方程
    令第n次本征模式轴向电场为：

   
    可得扰动电子注激励的电场为：

   

式中：定义为n次谐波的耦合阻抗；

ψ(r⊥)为电子注横向分布函数y）ds。所有本征模中只有个别模式与电子注同步，且除了电子流i（z）激发的同步波之外，还有输入的“冷波”，即E0e-r0z，则具有外加激励源E0e-r0z的同步场为：

   
式中：K0，г0，β0分别为该同步模式的耦合阻抗、传播常数、相位常数。式(1)两边同时对z求导2次得到熟知的激发方程： 

   
1．2 运动方程
    相对论下电子的运动方程为：

   
    能量守恒方程为：

   
    式(4)代入式(3)可得一维电子运动方程：

   
又由：
   
所以式(5)可写为：

   
其中：Ez=Ecz(线路场)+Esz(空间电荷场)；y=(1一v2/c2)-1/2为相对论因子，c为真空中的光速，v为电子速度。
1．3 电子流复振幅方程
    电子流是时间的非简谐周期函数，含有高次谐波，用傅氏分析。

   

2 慢变系统中归一化
    上述是在实验室坐标系下得到的迅变方程，为了处理问题的方便和计算结果普遍性强，通常将其归一化到电子坐标系内，获得慢变方程。
    为了表述方便，先引入迅变坐标系的归一化量：归一化距离为ξ=ω/v0z=βez；归一化时间为φ=ωt=2πt=/T，归一化场为f=|e|E/mvoω。则慢变系统中的归一化：归一化轴向距离为θ=Cξ=Cβez；归一化相位φe=ψ-ξ；归一化场幅值为Fcn(θ)=(eE／C2mvoω)ejnθ；归一化电流幅值为

    式(8)～(10)组成了行波管大信号注一波互作用基本工作方程组。其中Cn3=I0Kcn/4V0为n次谐波增益参量，bn=(V0一Vpn)／C1Vpn非同步参量，dn=aon／βeCn为衰减常数，rn=bn-idn。

3 空间电荷场的计算
    由文献可知z0处圆盘在z处圆盘平面上各点产生的平均空间电荷场为：

其中：Q为圆盘所带电量；6为电子注半径；a为漂移管半径，如图1所示，μ0n为零阶Bessel函数的第n个根。由此可知场是关于z的函数，可以表示为：

   
其中：B(| z—z0|)是以| z—z0|为变量的函数，由式(11)可以做出如图1所示曲线。