考虑到方程(10)中积分项不能直接计算，因为f(x,H) 没有导数，所以我们采用数值计算的方法来近似计算这一积分，在这种情况下，方程(10)可化为： 
                   （11）
如果步长 Δx 选的足够小，计算结果可以保证精度的要求。

4 模型数值仿真与分析

        作为模型的实际应用，我们分别计算了模型在不同分形参数、不同的测量距离和不同材料上的超声散射回波。

        试验中，采用了三种不同的材料，分别是铝、钢和和玻璃，超声波在三种材料中的声速分别为6300m/s，5900m/s 和5570m/s。超声波的中心频率为5MHz，超声传感器的晶片直径为10mm。

        图-2是不同分形参数的微裂纹在时刻 时的超声散射回波，图中分别给出了三种材料对应的仿真结果。从图中可以看出，不同分形参数的裂纹对应不同的超声散射回波，表明在时刻 的超声散射回波可以表征裂纹的不规则程度和复杂性，并且超声散射回波与裂纹的 Hurst指数是一一对应的，所以，我们可以用这种方法来测量微裂纹的分形参数。

图-2 不同分形参数微裂纹在时刻 的超声散射回波

        图-3是在不同的测量距离时，三种不同材料内部微裂纹的超声散射回波。图中分别给出了Hurst指数为0.2和0.8两种情况下，三种不同材料的超声散射回波的仿真结果。从图中可以看出，当测量距离增加时，超声回波快速下降，这与实际情况是相符的。同时可以看出，当测量距离一定时，超声回波与Hurst指数是一一对应的。仿真结果表明，我们所建立的测量模型是正确可行的。所以，可以采用这种方法，在不需要对裂纹进行剖切的情况下，对不同材料内部的微裂纹的分形参数进行测量，该方法与传统的测量方法相比，更加方便。

                    
              图-3 不同测量距离时材料内部微裂纹的超声散射回波

5 结论

        论文提出了一种利用超声波对材料内部微裂纹分形参数（Hurst指数）进行测量的新方法。论文首先采用一维分形布朗运动（FBM）来描述材料内部的微裂纹，然后，建立了微裂纹超声散射回波的数学模型，该模型建立起了时刻 的超声回波信号与裂纹分形参数之间的关系，从理论上说明了这种测量方法的可行性。最后，对不同分形参数、不同材料和不同测量距离的情况分别进行了数值仿真，试验结果也表明了这种方法的可行性。与传统的裂纹分形参数测量方法相比，该方法具有高效和省时的特点。