超声传感器S放在距裂纹中心线高度为R的上方（图-1）。在超声测量时，超声传感器向裂纹发射超声波，设发射的超声波是频率为其中心频率的纯频波，具有以下的形式：             (3)
式中，Α0 是信号幅值；ω0 是超声波中心频率。

图-1 分形微裂纹几何示意图

        事实上，测试中用到的超声波往往是脉冲波，所以，在研究中采用连续波被高斯函数调制的形式，有以下的表达式： 
                                       (4)
式中，g(t)是零均值的高斯函数，可表示如下： 
                                    (5)
        实测中，把超声传感器S当作一个点源，向外发射球面脉冲波。当点源S与裂纹间的距离r 远大于超声传感器的晶片直径d (r>>d)时，裂纹上一点在时刻 t 接收到的超声波为： 
                             (6)
式中， c 超声波的传播速度。

        当超声波到达裂纹表面时，在裂纹表面产生散射。目前还没有确切地算法可用来计算超声波的散射回波声场。在研究中，我们把它当作二次点源，向外辐射球面波。我们将利用基尔霍夫近似来计算由裂纹散射的超声回波。此时，超声回波可看作由裂纹表面上的二次点源辐射的球面波的合成，并假设超出超声波照射范围的裂纹上的点没有声波的散射，散射回波是关于超声传感器所在的位置的中心线对称的，在计算超声回波时，忽略裂纹上的多次散射回波，不计裂纹上没有被直接照射的点的超声回波，并且认为裂纹都是近轴分布的，我们可以得到下面的超声回波的表达式： 
             (7)
式中， 是超声传感器与裂纹上点的距离。
是超声传感器到裂纹中心线的垂直距离。
是超声传感器中心线到超声最大照射范围的单边长度。
       
        从图-1所示的几何关系可以得到： 
                          (8)
        用方程式(8)中的 替代超声回波计算式中的 ，可以将超声回波化为： 
                            (9)
        特别地，我们可以取某一时刻 的超声回波作为研究对象，时刻 可以选为 ，即超声波从传感器中心线返回时刻。则在这一时刻的超声回波可以表示为： 
                                (10)
式中,

       
        方程 (10) 就是关于超声散射回波与微裂纹分形参数（ Hurst指数）的关系模型。当方程中除Hurst指数外的其它参数给定时，我们就可以根据试验测得的时刻τ的裂纹散射回波D(τ)来确定裂纹的分形参数H。 我们可以利用这个关系来实现微裂纹分形参数的测量。