1 引言

        材料中实际裂纹的形状参数和空间分布信息在缺陷无损评估中变得越来起重要。它们表明了裂纹的折皱程度，扩展路径，在一定程度上还反映了裂纹的成因。根据裂纹的这些信息，可以在线评估材料的工作状态，预测材料的工作寿命，甚至可以分析导致裂纹产生的物理和化学原因。所以，长期以来人们一直在探索描述真实裂纹的方法。分形可以表示自然界中的不规则性，而实际的裂纹有着非常复杂和不规则的形状，且存在统计意义上的自相似性，科研工作者已经成功地用分形的方法来描述真实的裂纹[1]-[6]，但是目前测量裂纹的分形参数非常费时。我们提出了一种利用超声波来测量实际裂纹分形参数的方法，并在论文中给出了这种方法测量的理论模型和数值仿真结果。

        应用形状参数来描述真实裂纹的方法可以追溯到六十年前，当时是用来描述材料断口的形状。Womersley 和Hopkins 首次用随机函数来刻画粗糙的断口形状，这种方法已经有成功的应用。后来，Mandelbrot等人发现这种断裂面即使很不平整也可用分形表面来描述。在他们研究的基础上，后来有许多科研工作者在相关的领域进行过大量的研究。从国内外收集的文献可以看出，这些研究工作主要包括以下三个方面[7]-[12]：一是裂纹的分形几何参数的测量方法；二是利用测得的分形量化参数进行裂纹成因的探索；三是根据测得的裂纹分形几何参数预测裂纹的扩展路径。综合分析三大研究领域发现，如何方便快捷地测量裂纹的分形几何参数是所有研究的关键。传统的测量真实裂纹的分形参数的方法主要有小岛法、断面法、电磁散射法和光散射法，所有这些方法都有一个缺点就是既不方便又耗时，因为这些方法在测量时，都需要将裂纹沿裂纹面剖开，以便轮廓仪可以直接接触到断裂面或是电磁波与光可以直接照射在裂纹上。近几年，有学者提出了用声波的方法来测量裂纹的分形几何参数的方法，利用声波法可有效地克服以上方法的不足，因为声波可以有效地穿透材料内部并进行测量，而不需要对裂纹进行剖切。

　　Debashree Dutta[13]等人在1988年率先研究了分形裂纹的声学特性，他们建立了裂纹的分形参数与其声散射场的关系，根据其研究成果，人们可以通过声波来测量裂纹的分形参数（Hurst 指数）。Debashree Dutta等人只从理论上推导了裂纹表面的不规则性（这种不规则性可用分形参数—Hurst 指数来度量）是如何影响其上的声波的散射强度的，在他们的研究中，声波采用准正弦脉冲声波。

        在本研究中，利用超声波代替普通声波，因为超声波具有更高的频率，高频特性可以用来提高检测的灵敏度。在此基础上，推导了裂纹分形参数（Hurst 指数）是如何影响超声波的时域回波信号的理论模型。与Debashree Dutta等人的方法相比，本研究中用了较少的假设，建立的模型更加简便，检测灵敏度更高，并且对理论模型进行了数值仿真。

        论文第二部分，用具有平稳特性且服从高斯分布的自相似随机函数的组合来模拟微裂纹。因为微裂纹具有平稳自相似特性，可以用一维分形布朗运动（FBM）模型来描述。这一模型使我们可以用分形参数， Hurst指数来表征微裂纹。

        论文第三部分，用基尔霍夫近似方法研究了微裂纹的超声散射声场，最后推导出了微裂纹的超声散射回波与Hurst 指数的关系式。

        论文第四部分，对在不同的材料内部，不同Hurst指数的微裂纹，不同测量距离时的裂纹超声散射声场进行了数值模拟。

2 微裂纹分形模型

        Womersley和Hopkins首先提出用零均值且服从高斯分布的随机函数来模拟裂纹。从这一理论出发，裂纹可以用带随机变量的复指数函数形式来表示： 
                                      (1)
式中，Cκ是模小于1的复随机变量。为了研究的方便把e（x）归一化，同时为了保证（1）式收敛，取=1 。

        Mandelbrot在1982年引入分形布朗运动（FBM）的概念，作为随机函数的推广。从这一理论出发，一维微裂纹可以用下面的函数来表示： 
                      (2)
式中，Cκ是随机变量，服从零均值、均方差为1的高斯分布。
λ是大于1的常量。
Ακ是在区间[0,2π]上服从均匀分布的随机变量。
H是 Hurst 指数。

       Mandelbrot指出，FBM是增量为零均值平稳实过程。f（x,H）的统计特性与原点无关，FBM具有统计自相关性和长时相关性。对于有限维的FBM，它的联合概率分布具有比例不变性。

        在本研究中，采用FBM作为微裂纹的模型。

3 微裂纹的超声散射声场模型