关键词：Bode定理；Bode图；回路增益

1 控制理论基础

1．1 回路增益

对于一般负反馈控制系统，其闭环系统方框图如图1所示。闭环传递函数C（s)/R(s)=G(s)/[1+G(s)H(s)]，其特征方程式为F(s)=1＋G(s)H(s)=0，特征方程式的根即为系统的闭环极点。由此方程式可以看出G(s)H(s)项，其包含了所有关于闭环极点的信息，一般称G(s)H(s)为回路增益。实际应用中，可通过对回路增益Bode图的分析来设计系统的补偿网络，以达到闭环系统稳定性要求。

1．2 Bode定理

Bode定理对于判定所谓最小相位系统的稳定性以及求取稳定裕量是十分有用的。其内容如下：

1）线性最小相位系统的幅相特性是一一对应的，具体地说，当给定整个频率区间上的对数幅频特性（精确特性）的斜率时，同一区间上的对数相频特性也就被唯一地确定了；同样地，当给定整个频率区间上的相频特性时，同一区间上的对数幅频特性也被唯一地确定了；

2）在某一频率（例如剪切频率ωc）上的相位移，主要决定于同一频率上的对数幅频特性的斜率；离该斜率越远，斜率对相位移的影响越小；某一频率上的相位移与同一频率上的对数幅频特性的斜率的大致对应关系是，±20ndB/dec的斜率对应于大约±n90°的相位移，n=0，1，2，…。

例如，如果在剪切频率ωc上的对数幅频特性的渐进线的斜率是－20dB/dec，那么ωc上的相位移就大约接近－90°；如果ωc上的幅频渐近线的斜率是－40dB/dec，那么该点上的相位移就接近－180°。在后一种情况下，闭环系统或者是不稳定的，或者只具有不大的稳定裕量。

在实际工程中，为了使系统具有相当的相位裕量，往往这样设计开环传递函数，即使幅频渐近线以－20dB/dec的斜率通过剪切点，并且至少在剪切频率的左右，从ωc/4到2ωc的这段频率范围内保持上述渐近线斜率不变。

2 逆变器电压环传递函数（建模）

一个逆变器的直流输入电压24V，交流输出电压110V，频率400Hz，电路开关频率40kHz，功率500W。其控制至输出整个电压环的电路结构如图2所示。现求其回路增益。

2．1 驱动信号d（s）至输出Vo?s）的传递函数

1）驱动信号d为SPWM脉冲调制波，加在IGBT管的栅极（G）上，而输入母线电压Vin加在管子的集电极（C）和发射极（E）两端，根据图2所示结构，输出电压Vd与驱动d之间相差一个比例系数，设为K1，则K1=。在具体的逆变器电路中，母线电压Vin为±200V，驱动信号为12V，代入可得K1=400/12=33.33。2）LC低通滤波网络传递函数推导可得=Vo(s)/Vo'(s)=1/(s2LC+1)，其中L=3mH，C=2μF。

    综上，驱动信号d（s）至输出Vo（s）的传递函数为Vo(s)/d(s)=G1(s)=K1/(s2LC+1)；

2．2 输出Vo（s）至反馈信号B（s）的传递函数H（s）

1）输出电压采样变压器的传递函数为一个比例系数，即其变比，设为K2，即V'o(s)/Vo(s)=K2，具体电路中，K2=18/110=0.164。

2）电阻电容分压网络如图2虚线框所示，其传递函数为=B(s)/V'o(s)=1/(sR1C2+R1/R2+1)，其中R1=820Ω，R2=5.1kΩ，C2=10nF。

综上，Vo（s）至B（s）的传递函数H(s)=B(s)/Vo(s)=K2/(sR1C2+R1/R2+1)；

2.3 脉宽调制器（PWM）传递函数Gd(s)

一般PWM调制器的传递函数为Gd(s)==，其中Vm为三角波最大振幅。在具体电路中，反馈信号与基准正弦波信号送入差动放大器，输出误差信号再与标准三角波比较，生成SPWM驱动信号。此处所用三角波的振幅为Vm=3V。

    综上，在未加入补偿网络之前，整个回路增益为

G（s）=G1(s)H(s)Gd(s)

=K1/(s2LC+1)[K2/(sR1C2+R1/R2+1)(1/Vm)

=1.569/[(6×10-9s2+1)(7×10 -6s+1)

绘制其幅频Bode图，如图3所示。

3 补偿网络设计

由前述Bode定理，补偿网络加入后的回路增益应满足，幅频渐近线以－20dB/dec的斜率穿过剪切点（ωc点），并且至少在剪切频率左右从到2ωc的范围内保持此斜率不变。

由此要求，首先选择剪切频率。实际应用中，选fc=fs/5为宜，其中fs为逆变器工作频率或开关管开关频率。具体逆变器中，开关频率为40kHz，则fc=40/5=8kHz。

在未加补偿网络之前的回路增益Bode图如图3所示，在fc=8kHz处的增益为－20.17dB，由此，补偿网络应满足如下条件，即在fc=8kHz处的增益为＋20.17dB，斜率为＋20dB/dec，而且，此斜率在fc/4=2kHz与2fc=16kHz（取15kHz）的范围内保持不变。补偿网络的Bode图如图4所示（幅频）。

由图4可得：f1=2kHz处，G(ω)=20lg(2πf1)=8.129dB或者2.55（倍数）=AV1，f2=15kHz处，G(ω)=20lg(2πf2)=25.63dB或者19.12（倍数）=AV2，两个零值对应频率为fz1=fz2=2kHz，一个极值在fp1=15kHz处，另一个极值在fp2=20kHz处。考虑选用如图5所示补偿放大器时，其电阻电容参数值可计算如下：

取R3=5.1kΩ，R0=39kΩ，则R2=R3AV2=97.5kΩ，C2=1/(2πfp2R2)=81.6pF，C1==816pF，R1=1/(2πfp1R3)=39kΩ，C3=π=2040pF。

实际电路中，取R2=100kΩ，C2=100pF，C1=800pF，R1=39kΩ，C3=2200pF。

4 实验结果

将上面补偿网络加入后，逆变器可带满载并稳定工作，其IGBT管两端电压vCE及输出电压vo的波形如图6所示，电路工作条件为：功率P=500W（满载），母线电压Vin=±180V。

5 结语

实验结果表明，将控制理论的频率响应法应用于逆变器电压单环反馈控制设计有其直观简单的优点，同时易于实现。逆变器电路加入补偿网络后其稳定性有所改善。不足之处在于，输出波形在非线性负载及负载变化较大时畸变明显，需要寻求更好的调节方法来改善。